ボールが飛ぶ距離を先に計算してだしたかった（妥協あり）

角度 $\theta$ 、速度 $v$ で投げ上げた場合を考える。

参考より、空気抵抗をkとして、Unityでの空気抵抗は以下のように計算されているらしいので、

$$v=v\ast (1-k\ast dt);$$

※ 引用元のfはfloatなので省略、$k$ が空気抵抗（UnityでのDrag）

調査した結果、Unity上で $dt$ は「Project Settings」「Time」「Fixed Timestep」であった。
物理演算は「Fixed Timestep」ごとに行われ、$n$ 回かかるものとする。

速度は、前の速度から $1-kdt$ をかけた等比数列なので、速度の一般項 $v_{xn}$は

$$v_{xn}=v_{x0}(1-kdt{)}^n$$

そして位置$x_1$を計測したところ、Unity上では$v_{x0}$ではなく、$v_{x1}$から使われていた。
$x_0=0$ 、
$x_1=v_{x1}dt+x_0$、
$x_2=v_{x2}dt+x_1\dots$
よって位置の一般項 $x_n$ $(n\ge 1)$は、

$$\begin{array}{rcl}{x}_n& =& v_{xn}dt+x_{n-1}\\ & =& v_{xn}dt+v_{xn-1}dt+v_{xn-2}dt\dots \\ & =& (v_{xn}+v_{xn-1}+v_{xn-2}\dots +v_{x1})dt\\ & =& dt\sum _{i=1}^n{v}_{xi}\end{array}$$

初項 $a=v_1$、公比 $r=1-kdt$ の等比数列の和より、

$$\begin{array}{rcl}{x}_n& =& v_{x1}dt\frac{1-{(1-kdt)}^n}{1-(1-kdt)}\\ & =& v_{x1}dt\frac{1-{(1-kdt)}^n}{1-1+kdt}\\ & =& v_{x1}dt\frac{1-{(1-kdt)}^n}{kdt}\\ \text{(x)}& & =& v_{x1}\frac{1-{(1-kdt)}^n}{k}\end{array}$$

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速度$v_y$を計測したところ、Unity上での式は以下のようになっていた。

$$v_y=(v_y+g\ast dt)\ast (1-k\ast dt);$$

$v_x$と違い、一般項が複雑になるので求めると、

$$\begin{array}{rcl}{v}_{y2}& =& (v_{y1}+gdt)(1-kdt)\\ & =& v_{y1}(1-kdt)+gdt(1-kdt)\\ & =& (v_{y0}+gdt)(1-kdt)(1-kdt)+gdt(1-kdt)\\ & =& (v_{y0}+gdt){(1-kdt)}^2+gdt(1-kdt)\\ & =& v_{y0}{(1-kdt)}^2+gdt{(1-kdt)}^2+gdt(1-kdt)\\ & =& v_{y0}{(1-kdt)}^2+gdt({(1-kdt)}^2+(1-kdt)+\dots )\\ & =& v_{y0}{(1-kdt)}^2+gdt\sum _{i=1}^2{(1-kdt)}^i\end{array}$$

$\sum$の部分は初項 $a=1-kdt$、公比 $r=1-kdt$ の等比数列の和より、

$$\begin{array}{rcl}{v}_{y2}& =& v_{y0}{(1-kdt)}^2+gdt(1-kdt)\frac{1-{(1-kdt)}^2}{1-(1-kdt)}\\ & =& v_{y0}{(1-kdt)}^2+gdt(1-kdt)\frac{1-{(1-kdt)}^2}{1-1+kdt}\\ & =& v_{y0}{(1-kdt)}^2+gdt(1-kdt)\frac{1-{(1-kdt)}^2}{kdt}\\ & =& v_{y0}{(1-kdt)}^2+g(1-kdt)\frac{1-{(1-kdt)}^2}{k}\\ & =& v_{y0}{(1-kdt)}^2+\frac{g(1-kdt)}{k}-\frac{g(1-kdt){(1-kdt)}^2}{k}\\ & =& (v_{y0}-\frac{g(1-kdt)}{k}){(1-kdt)}^2+\frac{g(1-kdt)}{k}\end{array}$$

よって速度の一般項 $v_{yn}$ は、

$$v_{yn}=(v_{y0}-\frac{g(1-kdt)}{k}){(1-kdt)}^n+\frac{g(1-kdt)}{k}$$

位置の一般項$y_n$ $(n\ge 1)$も、 $x_n$と同様に ${\displaystyle dt\sum _{i=1}^n{v}_i}$ なので、

$$\begin{array}{rcl}{y}_n& =& dt\sum _{i=1}^n{v}_{yi}\\ & =& dt\sum _{i=1}^n((v_{y0}-\frac{g(1-kdt)}{k}){(1-kdt)}^n+\frac{g(1-kdt)}{k})\\ & =& dt(\sum _{i=1}^n(v_{y0}-\frac{g(1-kdt)}{k}){(1-kdt)}^n+\sum _{i=1}^n\frac{g(1-kdt)}{k})\end{array}$$

初項 $a=(v_{y0}-\frac{g(1-kdt)}{k})(1-kdt)$、公比 $r=1-kdt$ の等比数列の和より、

$$\begin{array}{rcl}{y}_n& =& dt((v_{y0}-\frac{g(1-kdt)}{k})(1-kdt)\frac{1-{(1-kdt)}^n}{1-(1-kdt)}+\frac{ng(1-kdt)}{k})\\ y_n& =& dt((v_{y0}-\frac{g(1-kdt)}{k})(1-kdt)\frac{1-{(1-kdt)}^n}{kdt}+\frac{ng(1-kdt)}{k})\\ y_n& =& (v_{y0}-\frac{g(1-kdt)}{k})(1-kdt)\frac{1-{(1-kdt)}^n}{k}+\frac{ngdt(1-kdt)}{k}\end{array}$$

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ここから距離を求めたいので、$y_0\ne 0$ から、 $y=0$ となる$x$ を求める。
※Unityで確認したところ、$1-kdt=0$の場合は空気抵抗が釣り合ってしまい、ボールが動かなかったので、$1-kdt\ne 0$とする

$$\begin{array}{rcl}0& =& (v_{y0}-\frac{g(1-kdt)}{k})(1-kdt)\frac{1-{(1-kdt)}^n}{k}+\frac{ngdt(1-kdt)}{k}+y_0\\ 0& =& (v_{y0}-\frac{g(1-kdt)}{k})\frac{1-{(1-kdt)}^n}{k}+\frac{ngdt}{k}+\frac{y_0}{1-kdt}\end{array}$$

$\text{(x)}$より、$\frac{x_n}{v_{x1}}=\frac{1-{(1-kdt)}^n}{k}$ なので、

$$\begin{array}{rcl}0& =& (v_{y0}-\frac{g(1-kdt)}{k})\frac{x_n}{v_{x1}}+\frac{ngdt}{k}+\frac{y_0}{1-kdt}\end{array}$$

$\text{(x)}$より、

$$\begin{array}{rcl}{x}_n& =& v_{x1}\frac{1-{(1-kdt)}^n}{k}\\ \frac{k{x}_n}{v_{x1}}& =& 1-{(1-kdt)}^n\\ \frac{k{x}_n}{v_{x1}}-1& =& -{(1-kdt)}^n\\ 1-\frac{k{x}_n}{v_{x1}}& =& {(1-kdt)}^n\\ {\log }_{(1-kdt)}(1-\frac{k{x}_n}{v_{x1}})& =& n\\ n& =& {\log }_{(1-kdt)}(1-\frac{k{x}_n}{v_{x1}})\end{array}$$

よって、

$$\begin{array}{rcl}0& =& (v_{y0}-\frac{g(1-kdt)}{k})\frac{x_n}{v_{x1}}+\frac{gdt}{k}{\log }_{(1-kdt)}(1-\frac{k{x}_n}{v_{x1}})+\frac{y_0}{1-kdt}\end{array}$$

$v_{x1}=v_{x0}(1-kdt)$ より、

$$\begin{array}{rcl}0& =& (v_{y0}-\frac{g(1-kdt)}{k})\frac{x_n}{v_{x0}(1-kdt)}+\frac{gdt}{k}{\log }_{(1-kdt)}(1-\frac{k{x}_n}{v_{x0}(1-kdt)})+\frac{y_0}{1-kdt}\\ 0& =& (v_{y0}-\frac{g(1-kdt)}{k})\frac{k{x}_n}{gdt{v}_{x0}(1-kdt)}+{\log }_{(1-kdt)}(1-\frac{k{x}_n}{v_{x0}(1-kdt)})+\frac{k{y}_0}{gdt(1-kdt)}\\ {(1-kdt)}^0& =& {(1-kdt)}^{((v_{y0}-\frac{g(1-kdt)}{k})\frac{k{x}_n}{gdt{v}_{x0}(1-kdt)}+{\log }_{(1-kdt)}(1-\frac{k{x}_n}{v_{x0}(1-kdt)})+\frac{k{y}_0}{gdt(1-kdt)})}\\ 1& =& {(1-kdt)}^{{\log }_{(1-kdt)}(1-\frac{k{x}_n}{v_{x0}(1-kdt)})}{(1-kdt)}^{((v_{y0}-\frac{g(1-kdt)}{k})\frac{k{x}_n}{gdt{v}_{x0}(1-kdt)}+\frac{k{y}_0}{gdt(1-kdt)})}\\ 1& =& (1-\frac{k{x}_n}{v_{x0}(1-kdt)}){(1-kdt)}^{((v_{y0}-\frac{g(1-kdt)}{k})\frac{k{x}_n}{gdt{v}_{x0}(1-kdt)}+\frac{k{y}_0}{gdt(1-kdt)})}\\ 0& =& -1+(1-\frac{k{x}_n}{v_{x0}(1-kdt)}){(1-kdt)}^{((v_{y0}-\frac{g(1-kdt)}{k})\frac{k{x}_n}{gdt{v}_{x0}(1-kdt)}+\frac{k{y}_0}{gdt(1-kdt)})}\end{array}$$

これを解けば飛距離$x_n$ をだせるが、どうやらこの式は解けないようなので、近似値を求めることにした。 既存のライブラリ で対処したかったが、式のグラフの形が想定されていないのか、$v_0$が400ほどですでに解がだせなかったので、 禁断の自作実装で対処した。

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飛距離の最低値は当然0であり、最大値は$\text{(x)}$の$n=\mathrm{\infty }$で求められるので、

$$\begin{array}{rcl}{x}_{max}& =& v_{x1}\frac{1-{(1-kdt)}^{\mathrm{\infty }}}{k}\end{array}$$

$1-kdt<1$より、

$$\begin{array}{rcl}{x}_{max}& =& v_{x1}\frac{1-\frac{1}{\mathrm{\infty }}}{k}\\ x_{max}& =& v_{x1}\frac{1-0}{k}\\ x_{max}& =& \frac{v_{x1}}{k}\\ x_{max}& =& \frac{v_{x0}(1-kdt)}{k}\end{array}$$

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飛距離の計算を実現するクラスは以下の通り。

　※2025/3/6追記　lowerBoundがupperBound/2だと解が含まれない場合があったので、0に修正

残念ながら飛距離はUnity上でも正確に測れないためか、それとも浮動小数点の計算誤差なのか、値が大きくなると精度の範囲を超えた誤差がでる。（以下の図は精度0.1を指定している）

 

しかし、これ以上精度をよくする方法が思いつかないため、ここで妥協する。

最大値がかなり飛距離に近い値なので、これを上手く活用して計算できそうだが、不明。